勾股定理教學視頻

Ⅰ 勾股弦定律

兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，這就是勾股定理。

Ⅱ 勾股定理

．了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內容，初步會用它進行有關的計算、作圖和證明．

2．通過勾股定理的應用，培養方程的思想和邏輯推理能力．

3．對比介紹我國古代和西方數學家關於勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育．

教學重點與難點

重點是勾股定理的應用；難點是勾股定理的證明及應用．

教學過程設計

一、激發興趣引入課題

通過介紹我國數學家華羅庚的建議——向宇宙發射勾股定理的圖形與外星人聯系，並說明勾股定理是我國古代數學家於2000年前就發現了的，激發學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題．

二、勾股定理的探索，證明過程及命名

1．猜想結論．

勾股定理敘述的內容是什麼呢？請同學們也體驗一下數學家發現新知識的樂趣.

教師用計算機演示：

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC運動起來，但始終保持∠ACB＝90°，如拖動 A點或B點改變a ,b的長度來拖動AB邊繞任一點旋轉△ACB等．

（2）在以上過程中，始終測算a2，b2，c2，各取以上典型運動的某一兩個狀態的測算值（約7～8個）列成表格，讓學生觀察三個數之間有何數量關系，得出猜想．

（3）對比顯示銳角三角形、鈍角三角形的三邊的平方不存在這種關系，因此它是直角三角形所特有的性質．讓學生用語言來敘述他的猜想，畫圖及寫出已知、求證．

2．證明猜想．

目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國第20屆總統加菲爾德於1881年也提供了一面積證法（見課本第109頁圖（4）），而我國古代數學家利用割補、拼接圖形計算面積的思路提供了很多種證明方法，下面咱們採納其中一種（教師製作教具演示，見如圖3－151）來進行證明．

3．勾股定理的命名．

我國稱這個結論為「勾股定理」，西方稱它為「畢達哥拉斯定理」，為什麼呢？

（1）介紹《周髀算經》中對勾股定理的記載；

（2）介紹西方畢達哥拉斯於公元前582～493時期發現了勾股定理；

（3）對比以上事實對學生進行愛國主義教育，激勵他們奮發向上．

三、勾股定理的應用

1．已知直角三角形任兩邊求第三邊．

例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b，c．

（1）a＝ 6，b＝8求c及斜邊上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b．

說明：對於（1），讓學生總結基本圖形（圖3－153）中利用面積求斜邊上高的基本方法；對於（4），引導學生利用方程的思想來解決問題．

教師板書（1），（4）的規范過程，讓學生練習（2），（3）．

例2求圖3－152所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到0．lmm）．

教師就如何根據圖紙上尺寸尋找直角三角形ABC中的已知條件，出示投影．

練習 1投影顯示： （1）在等腰 Rt△ABC中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________；

（2）如圖 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，則BC:AC:AB＝___________；若AB＝8,則AC＝_____________；又若CD⊥AB，則CD=______________.

（3）等邊出△ABC的邊長為 a，則高AD＝__________，

S △ABC＝______________

說明：

（1）學會利用方程的思想來解決問題．

（2）通過此題讓學生總結並熟悉幾個基本圖形中的常用結論：

①等腰直角三角形三邊比為1:1:；

②含30°角的直角三角形三邊之比為1::2；

③邊長為a的等邊三角形的高為a，面積為

（板書）例 3 如圖 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD的長．

分析：

（1）分解基本圖形，圖中有等腰△ABC和

Rt△ADC；

（2）添輔助線——等腰△ABC底邊上的高

AE，同時它也是Rt△ADC斜邊上的高；

（3）設BD為X．利用圖3－153中的基本關系，

通過列方程來解決．教師板書詳細過程．

解 作AE⊥BC於E．設BD為x,則DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，將上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2．

∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.

2．利用勾股定理作圖．

例4 作長為的線段．

說明：按課本第101頁分析作圖即可，強調構造直角三角形的方法以及自己規定單位長．

3．利用勾股定理證明．

例5 如圖3-155，△ABC中，CD⊥AB於D，AC>BC.

求證：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）．

分析：

（1） 分解出直角三角形使用勾股定理．

Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2．

（2） 利用代數中的恆等變形技巧進行整理：

AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）

=AD2-BD2

＝（AD+BD）（AD-BD）

＝AB（AD-BD）．

例6 已知：如圖3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D為BC中點，DE⊥AB於E，求證：AC2=AE2-BE2．

分析：添加輔助線———連結AD，構造出兩個新直角三角形，選擇與結論有關的勾股定理和表達式進行證明．

4．供選用例題．

（1） 如圖3-157，在Rt△ABC中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面積．

提示：添加輔助線——BA的中垂線DE交BA於D，交AC於E，連結BE，構造出含30°角的直角三角形BCE，同時利用勾股定理解決，或直接在∠ABC內作∠ABE=15°，交CA邊於E．

（2） 如圖3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC邊的長．

分析：添加輔助線——作CD⊥AB於D，構造含45°，30°角的直角三角形列方程解決問題．

（3）如圖3-159（a），在四邊形ABCD中，∠B=

∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD．

提示：添加輔助線——延長BA，CD交於E，構造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它們的性質來解決問題（見圖3-159（b））.或將四邊形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形來解決問題．（見圖3-159（c））

答案：AB=23-2，CD=4-3．

（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四個角是直角）

①P為矩形內一點，求證PA2＋ PC2＝ PB2＋ PD2

②探索P運動到AD邊上（圖3－160（b））、矩形ABCD外(圖3－160（C））時，結論是否仍然成立．

分析：

（1）添加輔助線——過P作EF⊥BC交AD干E，交BC於F．在四個直角三角形中分別

使用勾股定理．

（2）可將三個題歸納成一個命題如下：

矩形所在平面上任一點到不相鄰頂點的距離的平方和相等．

四、師生共同回憶小結

1．勾股定理的內容及證明方法．

2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特徵（一角為90°）轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.

3．利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段

長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理．

五、作業

1． 課本第106頁第2～8題．

2．閱讀課本第109頁的讀一讀：勾股定理的證明．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

1．勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是直角三角形的一個重要性質．本教學設計利用計算機（幾何畫板軟體動態顯示）的優越條件，提供足夠充分的典型材料——形狀大小、位置發生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式，並通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調直角三角形的這個特有性質，體現了啟發學生獨立分析問題、發現問題、總結規律的教學方法．

2． 各學校根據自己的教學條件還可以採納以下類比聯想的探索方式來引入新課．

（1）復習三角形三邊的關系，總結出規律：較小兩邊的和大於第三邊．

（2）引導學生類比聯想：較小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小關系呢？

（3）舉出三個事例（見圖3－161（a）（b）（ c））．

對比發現銳角、鈍角三角形中兩較小邊的平方和分別大於或小於第三邊的平方，直角三角形中較小兩邊的平方和等於第三邊的平方．

（4）用教具演示圖3－151，驗證對直角三角形所做的猜想．

教學目的：1、會闡述勾股定理的逆定理
2、會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形
3、能正確、靈活的應用勾股定理及勾股的逆定理

教學重點：勾股定理逆定理的應用

教學難點：勾股定理逆定理的證明

教學方法：講練結合

教學過程：
一、復習提問
1、 勾股定理的文字語言
2、 勾股定理的幾何符號語言
3、 勾股定理的作用
4、 填空：已知一直角三角形的兩邊是5和12，則第三邊的長是 。
二、導入新課
勾股定理是一個命題，任何命題都有逆命題，它的逆命題是什麼？
三、講解新課
勾股定理的逆定理的文字語言：如果三角形的三邊長：a、b、c有關系，a2+b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形。
命題有真假之分，它是否為真命題，首先必須證明。
已知：在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，並且a2+b2=c2
求證：∠C=90º
分析：證明一個角為90º，可以證AC⊥BC
也可以利用書本上的方法證明，自學

通過證明，勾股定理的逆命題是個真命題，即勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理的幾何符號語言：在ΔABC中∵ a2+b2=c2 （或c2－a2 = b2 ）
∴∠C=90º（勾股定理的逆定理）
強調：只要滿足上述關系，它必定是直角三角形，且較長的邊是斜邊，它所對的角是直角。

例如：三邊長分別為3、4、5，能否組成直角三角形，5、12、13呢？9、40、41呢？
勾股數：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數（或勾股弦數）
書本102—103頁，劃出定義，完成作業103頁1、3
例1 ΔABC的三邊分別為下列各組值，能組成直角三角形的打「√」，並指出哪個是直角，否則打「×」
⑴a=1、b= 、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n＞1)
⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n為正整數
解⑴ ∵12+12=（ ）2 ∴ ΔABC是以∠B為直角的三角形
⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=（1.2）2
∴ ΔABC是以∠B為直角的三角形
⑶⑷⑸解略。
強調：對於數字較大，可以利用平方差公式，達到簡便運算。

例2 已知：如圖，AD=3，AB=4，∠BAD=90º，BC=12，CD=13，
求四邊形ABCD的面積.

分析：連結BD，求出BD=5，

∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90º

∴四邊形ABCD的面積=ΔABD的面積+ΔBD的面積
解：略

例2 已知：如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD2•BD
求證：ΔABC是直角三角形
分析：要證ΔABC是直角三角形
只要證AC2+BC2=AB2
在RtΔACD中，∵∠ACD=90º
∴AC2=AD2+CD2
同理可證，BC2=CD2+BD2
∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2
=（AD+BD）2
∴ΔABC是直角三角形
請學生自己完成證明過程。

Ⅲ 勾股定理怎麼證明

歐幾里得證法：

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

1、如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

2、三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

3、任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。

4、任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(3)勾股定理教學視頻擴展閱讀：

勾股定理意義：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端。

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理。

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解。

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。

6、1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。

Ⅳ 勾股定理好難學。求高手給我講解一下。謝謝

勾股定理，就是兩條直角邊的平方和=斜邊的平方
譬如有一個直角三角形，邊a.b的夾角為90度,斜邊記做c
那麼a^2+b^2=c^2
看懂了么？

Ⅳ 如何學勾股定理

a2+b2=c2 這個記得就好 很容易的 在初二我們將初步學習勾股定理.勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼a的平方＋b的平方＝c的平方;，即α*α+b*b=c*c推廣：把指數改為n時，等號變為小於號據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年勾股數：是指能組成a^+b^=c^的三個正整數稱為勾股數.實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為 30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。） 人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。 從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。 若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。

樓主如果真要學好勾股定理的話，多做題，鞏固鞏固，會有所提高的，我是初三的，希望我的建議能給你帶來幫助。

Ⅵ 求勾股定理的證明方法

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘。
1．中國方法
畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是
a2+b2=c2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。
2．希臘方法
直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出，
△ABA』 ≌△AA』』 C。
過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。
△ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。
於是，
S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC，
即 a2+b2=c2。
至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：
⑴ 全等形的面積相等；
⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。
我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中穆畚摹豆垂稍卜酵甲ⅰ分械鬧っ鰲2捎玫氖歉畈狗ǎ?
如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。
趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。
西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。
如圖，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比較以上二式，便得
a2+b2=c2。
這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。
在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我們發現，把①、②兩式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，這就是
a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：
設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因為∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。
從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等
【證法1】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.
∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 .
∴
∴ .
【證法2】（課本的證明）
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
【證法3】（1876年美國總統Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等於 .
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD‖BC.∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等於
∴ .∴ .
【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？只見那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答到：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不加思索地回答到：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說道：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。於是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終於弄清楚了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為「總統。」證法。
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於 ，ΔGAD的面積等於矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 = .同理可證，矩形MLEB的面積 = .
∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ，即 .
【證法5】（利用相似三角形性質證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 .
同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 .
∴ ，即
【證法6】（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等於c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.
又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 .
∴ . ∴ .
【證法7】（利用切割線定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得
= = = ，
即 ，∴ .
【證法8】（作直角三角形的內切圓證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,即 ，
∴ .∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ∴ .

Ⅶ 誰有金閣勾股♂定理的視頻啊

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股三角形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
青朱出入圖，是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。
劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。
公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾三，股四，弦五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，斜邊（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。
希望我能幫助你解疑釋惑。