勾股定理的內容

『壹』 勾股定理具體內容是什麼

勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即「勾」，「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a^+b^=c^ 。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組程a2 + b2 = c2的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。
發展歷程
稱為商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰「故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」因此，勾股定理在中國又稱「商高定理」。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得斜至日。
還有的國家稱勾股定理為「畢達哥拉斯定理」。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」．
蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《蔣銘祖算經》中記錄著商 高同周公的一段對話。蔣銘祖說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」蔣銘祖那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是著名的蔣銘祖定理，關於勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也；""此數"指的是"勾三股四弦五"。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次後 的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式A2+B2≥2AB可以證明下面的結論：三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。
法國、比利時人又稱這個定理為「驢橋定理」。他們發現勾股定理的時間都比中國晚，中國是最早發現這一幾何寶藏的國家。目前初二學生教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a²+b²=c²。
折疊編輯本段定理定義
在任何一個平面直角三角形中的兩勾股定理直角邊的平方之和一定等於斜邊的平方。又稱為「商高定理」。在外國稱為「畢達哥拉斯定理(Pya就gore)」。
直角三角形兩直角邊(即「勾」，「股」)邊長的平方之和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼勾股定理的公式為a²+b²=c² 。勾股定理現發現約有400種證分明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組不定方程a² + b² = c²的正就整數組解為a,b,c。a=3,b=4,c=5就是一組勾股數組。 由於方程中含有3個未知數，故勾股數組有無窮多組解。
勾股定理
折疊編輯本段驗證推導
折疊青朱出入圖
勾股定理青朱出入圖是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關系證明勾股定理的幾何證明法，其法富有東方智慧，特色鮮明、通俗易懂。
劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補—以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。
折疊趙爽勾股圓方圖證明法
中國三國時期趙爽為證明勾股定理作「勾股圓方圖」即「弦圖」，按其證明思路，其法可涵蓋所有直角三角形，為東方特色勾股定理無字證明法。2002年第24屆國際數學家大會（ICM）在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片，郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。
折疊畢達哥拉斯定律
勾股定理任何一個學過代數或幾何的人，都會聽到畢達哥拉斯定理．這一著名的定理，在許多數學分支、建築以及測量等方面，有著廣泛的應用．古埃及人用他們對這個定理的知識來構造直角．他們把繩子按3，4和5單位間隔打結，然畢達哥拉斯樹後把三段繩子拉直形成一個三角形．他們知道所得三角形最大邊所對的角總是一個直角。畢達哥拉斯定理；給定一個直角三角形，則該直角三角形斜邊的平方，等於同一直角三角形兩直角邊平方的和。反過來也是對的；如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，則該三角形為直角三角形。
歐幾里得的證法畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次後的形狀好似一棵樹所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。而同一次數的所有小正方形面積之和等於最大正方形的面積直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。利用不等式A^2+B^2≥2AB
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。
其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是共線的，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。
因為AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD必須相等於△FBC。
因為A與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。
因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF = AB²。
同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH = AC²。
把這兩個結果相加，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC） = BD×BC
由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = BC²。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
折疊編輯本段主要意義
⑴勾股定理是聯系數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理。
⑵勾股定理導致不可通約量的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂「無理數"與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。
⑶勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學。
⑷勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個範式。

『貳』 勾股定理的具體內容是什麼

勾股定理是一個基本幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。勾股定理是餘弦定理的一個特例。勾股定理約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

文字表述：在任何一個的直角三角形（Rt△）中，兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。
數學表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼。
推廣定理：勾股定理的逆定理。

《幾何原本》

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。
設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
證明的概念為：
把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。
其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。
因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須全等於△FBC。
因為 A 與 K 和 L在同一直線上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。
因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = (AB)²。
同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH =(AC)²。
把這兩個結果相加， (AB)²+(AC)² = BD×BK + KL×KC
由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
由於CBDE是個正方形，因此(AB)² + (AC)² =(BC)²。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。

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『叄』 勾股定理內容

兩個直角邊的平方等於斜邊的平方。
即α*α+b*b=c*c

『肆』 勾股定理的內容是______

解答：答：直角三角形中兩直角邊的平方和等於斜邊的平方．

『伍』 勾股定理的具體內容是什麼

勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即「勾」，「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a^+b^=c^
。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組程a2
+
b2
=
c2的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。

『陸』 勾股定理的主要內容有哪些

在直角三角形中,兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.

『柒』 勾股定理的內容是什麼

勾股定理又稱商高定理、畢達哥拉斯定理，簡稱「畢氏定理」，是平面幾何中一個基本而重要的定理。勾股定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。
直角三角形兩直角邊(即「勾」，「股」)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麽a^+b^=c^ 。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組程a2 + b2 = c2的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。