勾股定理教学视频

Ⅰ 勾股弦定律

两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。

Ⅱ 勾股定理

．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明．

2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．

3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．

教学重点与难点

重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．

教学过程设计

一、激发兴趣引入课题

通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．

二、勾股定理的探索，证明过程及命名

1．猜想结论．

勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.

教师用计算机演示：

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等．

（2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．

（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证．

2．证明猜想．

目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明．

3．勾股定理的命名．

我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？

（1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载；

（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；

（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．

三、勾股定理的应用

1．已知直角三角形任两边求第三边．

例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．

（1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b．

说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题．

教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）．

例2求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）．

教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影．

练习 1投影显示： （1）在等腰 Rt△ABC中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________；

（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则BC:AC:AB＝___________；若AB＝8,则AC＝_____________；又若CD⊥AB，则CD=______________.

（3）等边出△ABC的边长为 a，则高AD＝__________，

S △ABC＝______________

说明：

（1）学会利用方程的思想来解决问题．

（2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论：

①等腰直角三角形三边比为1:1:；

②含30°角的直角三角形三边之比为1::2；

③边长为a的等边三角形的高为a，面积为

（板书）例 3 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD的长．

分析：

（1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和

Rt△ADC；

（2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高

AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高；

（3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系，

通过列方程来解决．教师板书详细过程．

解 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2．

∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.

2．利用勾股定理作图．

例4 作长为的线段．

说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长．

3．利用勾股定理证明．

例5 如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC.

求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）．

分析：

（1） 分解出直角三角形使用勾股定理．

Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2．

（2） 利用代数中的恒等变形技巧进行整理：

AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）

=AD2-BD2

＝（AD+BD）（AD-BD）

＝AB（AD-BD）．

例6 已知：如图3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点，DE⊥AB于E，求证：AC2=AE2-BE2．

分析：添加辅助线———连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明．

4．供选用例题．

（1） 如图3-157，在Rt△ABC中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面积．

提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC内作∠ABE=15°，交CA边于E．

（2） 如图3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC边的长．

分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题．

（3）如图3-159（a），在四边形ABCD中，∠B=

∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD．

提示：添加辅助线——延长BA，CD交于E，构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题（见图3-159（b））.或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题．（见图3-159（c））

答案：AB=23-2，CD=4-3．

（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四个角是直角）

①P为矩形内一点，求证PA2＋ PC2＝ PB2＋ PD2

②探索P运动到AD边上（图3－160（b））、矩形ABCD外(图3－160（C））时，结论是否仍然成立．

分析：

（1）添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F．在四个直角三角形中分别

使用勾股定理．

（2）可将三个题归纳成一个命题如下：

矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等．

四、师生共同回忆小结

1．勾股定理的内容及证明方法．

2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.

3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段

长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理．

五、作业

1． 课本第106页第2～8题．

2．阅读课本第109页的读一读：勾股定理的证明．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．

2． 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课．

（1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边．

（2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？

（3）举出三个事例（见图3－161（a）（b）（ c））．

对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方．

（4）用教具演示图3－151，验证对直角三角形所做的猜想．

教学目的：1、会阐述勾股定理的逆定理
2、会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形
3、能正确、灵活的应用勾股定理及勾股的逆定理

教学重点：勾股定理逆定理的应用

教学难点：勾股定理逆定理的证明

教学方法：讲练结合

教学过程：
一、复习提问
1、 勾股定理的文字语言
2、 勾股定理的几何符号语言
3、 勾股定理的作用
4、 填空：已知一直角三角形的两边是5和12，则第三边的长是 。
二、导入新课
勾股定理是一个命题，任何命题都有逆命题，它的逆命题是什么？
三、讲解新课
勾股定理的逆定理的文字语言：如果三角形的三边长：a、b、c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题有真假之分，它是否为真命题，首先必须证明。
已知：在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2
求证：∠C=90º
分析：证明一个角为90º，可以证AC⊥BC
也可以利用书本上的方法证明，自学

通过证明，勾股定理的逆命题是个真命题，即勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理的几何符号语言：在ΔABC中∵ a2+b2=c2 （或c2－a2 = b2 ）
∴∠C=90º（勾股定理的逆定理）
强调：只要满足上述关系，它必定是直角三角形，且较长的边是斜边，它所对的角是直角。

例如：三边长分别为3、4、5，能否组成直角三角形，5、12、13呢？9、40、41呢？
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）
书本102—103页，划出定义，完成作业103页1、3
例1 ΔABC的三边分别为下列各组值，能组成直角三角形的打“√”，并指出哪个是直角，否则打“×”
⑴a=1、b= 、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n＞1)
⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n为正整数
解⑴ ∵12+12=（ ）2 ∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=（1.2）2
∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑶⑷⑸解略。
强调：对于数字较大，可以利用平方差公式，达到简便运算。

例2 已知：如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90º，BC=12，CD=13，
求四边形ABCD的面积.

分析：连结BD，求出BD=5，

∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90º

∴四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBD的面积
解：略

例2 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD2•BD
求证：ΔABC是直角三角形
分析：要证ΔABC是直角三角形
只要证AC2+BC2=AB2
在RtΔACD中，∵∠ACD=90º
∴AC2=AD2+CD2
同理可证，BC2=CD2+BD2
∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2
=（AD+BD）2
∴ΔABC是直角三角形
请学生自己完成证明过程。

Ⅲ 勾股定理怎么证明

欧几里得证法：

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(3)勾股定理教学视频扩展阅读：

勾股定理意义：

1、勾股定理的证明是论证几何的发端。

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。

6、1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

Ⅳ 勾股定理好难学。求高手给我讲解一下。谢谢

勾股定理，就是两条直角边的平方和=斜边的平方
譬如有一个直角三角形，边a.b的夹角为90度,斜边记做c
那么a^2+b^2=c^2
看懂了么？

Ⅳ 如何学勾股定理

a2+b2=c2 这个记得就好 很容易的 在初二我们将初步学习勾股定理.勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方;，即α*α+b*b=c*c推广：把指数改为n时，等号变为小于号据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年勾股数：是指能组成a^+b^=c^的三个正整数称为勾股数.实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。） 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。

楼主如果真要学好勾股定理的话，多做题，巩固巩固，会有所提高的，我是初三的，希望我的建议能给你带来帮助。

Ⅵ 求勾股定理的证明方法

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中穆畚摹豆垂稍卜酵甲ⅰ分械闹っ鳌2捎玫氖歉畈狗ǎ?
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等
【证法1】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴
∴ .
【证法2】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD‖BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴ .∴ .
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
【证法4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于 ，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 = .同理可证，矩形MLEB的面积 = .
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .
【证法5】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 .
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .
∴ ，即
【证法6】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.
又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
【证法7】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
= = = ，
即 ，∴ .
【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,即 ，
∴ .∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ∴ .

Ⅶ 谁有金阁勾股♂定理的视频啊

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股三角形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。
公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾三，股四，弦五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
希望我能帮助你解疑释惑。